실습: Stiff System#

강좌: 수치해석 프로젝트

실습#

Stiff System#

다음 방정식을 해석하시오

\[\begin{split} \begin{align} \dot{x} &= -0.04x + 10^4 yz \\ \dot{y} &= 0.04x - 10^4 yz - 3\times 10^7 y^2 \\ \dot{z} &= 3\times 10^7 y^2 \end{align} \end{split}\]

초기 조건 : \((x_0, y_0, z_0)=(1,0,0)\)

  • (Optional) Implicit Euler Method로 해석하시오

  • solve_ivp 내 여러 방법으로 해석하시오

#DIY

(Optional) 방사능 붕괴#

\({}^{212}Pb\) 는 다음 과정을 통해 안정된 \({}^{208} Pb\) 로 변한다.

\[\begin{split} \begin{align} {}^{212} Pb &\rightarrow {}^{212} Bi + \beta^- & k_1&=1.816\times10^{-5} s^{-1} \\ {}^{212} Bi &\rightarrow {}^{208} TI + \alpha & k_2&=6.931\times10^{-5} s^{-1} \\ {}^{212} Bi &\rightarrow {}^{212} Po + \beta^- & k_3&=1.232\times10^{-4} s^{-1} \\ {}^{208} TI &\rightarrow {}^{208} Pb + \beta^- & k_4&=3.851\times10^{-3} s^{-1} \\ {}^{212} Po &\rightarrow {}^{208} Pb + \alpha & k_5&=2.310 s^{-1} \\ \end{align} \end{split}\]

이를 반응식으로 나타내면 다음과 같다.

\[\begin{split} \begin{align} \frac{d[{}^{212} Pb]}{dt} &= -k_1 [{}^{212} Pb] \\ \frac{d[{}^{212} Bi]}{dt} &= k_1 [{}^{212} Pb] - k_2 [{}^{212} Bi] - k_3 [{}^{212} Bi] \\ \frac{d[{}^{208} TI]}{dt} &= k_2 [{}^{212} Bi] - k_4 [{}^{208} TI] \\ \frac{d[{}^{212} Po]}{dt} &= k_3 [{}^{212} Bi] - k_5 [{}^{212} Po] \\ \frac{d[{}^{208} Pb]}{dt} &= k_4 [{}^{208} TI] + k_5 [{}^{212} Po]\\ \end{align} \end{split}\]

이 방사능 붕괴의 근사식은 다음과 같다.

\[ [{}^{208} Pb] = [{}^{212} Pb]_0 (1-e^{-k_1t}). \]

\({}^{212} Pb\) 만 존재했을 떄를 초기 조건으로 수치해석 한 후 위 식과 비교하시오

#DIY